Bloque III
Sistema de numeraciones
Números arábigos
Números arábigos y europeos en una señal de tráfico en Abu Dabi.
Los números arábigos, también llamados números indoarábigos, son los símbolos más utilizados para representar números. Se les llama "arábigos" porque los hispano-árabes de al-Ándalus los introdujeron en Europa a través de su acción cultural, aunque, en realidad, su invención surgió en la India. El mundo le debe a la cultura india el invento trascendental del sistema de numeración posicional, así como el descubrimiento del 0 (cero), llamado śūnya (shuunia) o bindu en lengua sánscrita, aunque los mayas también conocieron tanto el 0 como la numeración posicional. Los matemáticos persas de la India adoptaron el sistema, de quienes lo tomaron los árabes. Para el momento en que se empezaron a usar en el norte de África, ya tenían su forma actual, de allí fueron adoptados en Europa en la Edad Media. Su uso aumentó en todo el mundo debido a la colonización y comercio europeos. También se debe a la lengua española la transmisión a lenguas europeas de vocablos matemáticos de influencia árabe como álgebra, algoritmo, cero, cifra, guarismo...1
El sistema "arábigo" se ha representado (y se representa) utilizando muchos conjuntos de glifos diferentes. Estos glifos pueden dividirse en dos grandes familias: los numerales arábigos occidentales y los orientales. Los orientales, que se desarrollaron en lo que actualmente se corresponde a Irak, se representan en la tabla que viene a continuación como Arábigo-Índico. El Arábigo-Índico oriental es una variedad de los glifos arábigo-índicos. Los numerales arábigos occidentales, desarrollados en al-Ándalus y el Magreb, se muestran en la tabla como Europeo.
Numeración Maya
Numeración maya
Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (de base 20) de raíz mixta, similar al de otras civilizaciones mesoamericanas.
Los mayas preclásicos desarrollaron, con autonomía cultural, el concepto de y uso del cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las inscripciones los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que su escritura cabía en espacios largos.
Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (de base 20) de raíz mixta, similar al de otras civilizaciones mesoamericanas.
Los mayas preclásicos desarrollaron, con autonomía cultural, el concepto de y uso del cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las inscripciones los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que su escritura cabía en espacios largos.
Índice
Historia[editar]
Los mayas fueron un pueblo sedentario que se desarrolló en Mesoamérica alcanzando su esplendor en Guatemala y los estados del sureste mexicano principalmente. Fue poseedor de una de las culturas precolombinas más notables. Construyeron grandes templos y ciudades, como Calakmul, Tikal, Nakbé, Uxmal, Palenque, Uaxactún, Altún Ha, Chichén Itzá, El Mirador y muchos otros sitios, hay importantes yacimientos arqueológicos, en la región.
Desarrollaron una cultura fruto de su organización en ciudades-estado independientes cuya base era la agricultura y el comercio. Los monumentos más notables son las pirámides que construyeron en sus centros religiosos, junto a los palacios de sus gobernantes.
Los mayas participaban en el rito cultural como lo hacían en el comercio, diariamente, a larga distancia en Mesoamérica y posiblemente más allá. Entre los bienes de los ciudadanos que más dedicaban al comercio estaban el jade, el cacao, el maíz, la sal y la obsidiana.
El sistema de escritura maya, a menudo llamada jeroglífica por el uso de dibujos en lugar de letras, era una combinación de símbolos fonéticos silábicos e ideogramas. El descifrado de la escritura maya ha sido un largo y laborioso proceso. Desafortunadamente, los sacerdotes españoles, tal el caso de Diego de Landa en Maní, Yucatán, ordenaron la quema de los libros mayas después de la conquista. Hay además varios idiomas mayas que, aunque con origen en la misma protolengua, fueron diversificándose a lo largo de 3000 años de historia en una vasta porción de Mesoamérica.
Hicieron observaciones astronómicas extremadamente precisas. Sus diagramas de los movimientos de la Luna y los planetas son iguales o superiores a los de cualquier otra civilización coetánea, aunque no hayan utilizado ningún artefacto para sus observaciones[cita requerida]. Asimismo, como otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas descubrieron una medida precisa de la duración del año solar, mucho más exacta que la usada en Europa en la época[cita requerida]. Sin embargo, no la usaron en su calendario, que se basaba en un año de duración exacta de 365 días, por lo que tenía un error de 24 horas cada cuatro años.
Los mayas fueron un pueblo sedentario que se desarrolló en Mesoamérica alcanzando su esplendor en Guatemala y los estados del sureste mexicano principalmente. Fue poseedor de una de las culturas precolombinas más notables. Construyeron grandes templos y ciudades, como Calakmul, Tikal, Nakbé, Uxmal, Palenque, Uaxactún, Altún Ha, Chichén Itzá, El Mirador y muchos otros sitios, hay importantes yacimientos arqueológicos, en la región.
Desarrollaron una cultura fruto de su organización en ciudades-estado independientes cuya base era la agricultura y el comercio. Los monumentos más notables son las pirámides que construyeron en sus centros religiosos, junto a los palacios de sus gobernantes.
Los mayas participaban en el rito cultural como lo hacían en el comercio, diariamente, a larga distancia en Mesoamérica y posiblemente más allá. Entre los bienes de los ciudadanos que más dedicaban al comercio estaban el jade, el cacao, el maíz, la sal y la obsidiana.
El sistema de escritura maya, a menudo llamada jeroglífica por el uso de dibujos en lugar de letras, era una combinación de símbolos fonéticos silábicos e ideogramas. El descifrado de la escritura maya ha sido un largo y laborioso proceso. Desafortunadamente, los sacerdotes españoles, tal el caso de Diego de Landa en Maní, Yucatán, ordenaron la quema de los libros mayas después de la conquista. Hay además varios idiomas mayas que, aunque con origen en la misma protolengua, fueron diversificándose a lo largo de 3000 años de historia en una vasta porción de Mesoamérica.
Hicieron observaciones astronómicas extremadamente precisas. Sus diagramas de los movimientos de la Luna y los planetas son iguales o superiores a los de cualquier otra civilización coetánea, aunque no hayan utilizado ningún artefacto para sus observaciones[cita requerida]. Asimismo, como otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas descubrieron una medida precisa de la duración del año solar, mucho más exacta que la usada en Europa en la época[cita requerida]. Sin embargo, no la usaron en su calendario, que se basaba en un año de duración exacta de 365 días, por lo que tenía un error de 24 horas cada cuatro años.
Numeración maya[editar]
Los mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años, y con la manera en que organizaban el calendario.
Los mayas tenían tres modalidades para representar gráficamente los números, del 1 al 19, así como del cero: un sistema numérico de puntos y rayas; una numeración cefalomorfa «variantes de cabeza»; y una numeración antropomorfa, mediante figuras completas.3
En el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razón en cada nivel puede ponerse cualquier número del 0 al 19. Al llegar al veinte hay que poner un punto en el siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las unidades, en el segundo nivel se tienen los grupos de 20 (veintenas), en el tercer nivel se tiene los grupos de 20×20 y en el cuarto nivel se tienen los grupos de 20×20×20.
Los tres símbolos básicos son el punto, cuyo valor es 1; la raya, cuyo valor es 5; y el caracol (algunos autores lo describen como concha o semilla), cuyo valor es 0.
El sistema de numeración maya, aún siendo vigesimal, tiene el 5 como base auxiliar. La unidad se representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 19 (con tres rayas y cuatro puntos) que es el máximo valor que se puede representar en cada nivel del sistema vigesimal. Este sistema de numeración es aditivo, porque se suman los valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repite más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparece más de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un número igual o mayor que 20 necesitándose así emplear otro nivel de mayor orden.
Para escribir un número más grande que veinte se usan los mismos símbolos, pero cambian su valor dependiendo de la posición en la que se pongan. Los números mayas se escriben de abajo hacia arriba. En el primer orden (el de abajo) se escriben las unidades (del 0 al 19), en el segundo se representan grupos de 20 elementos. Por esto se dice que el sistema de numeración maya es vigesimal.
Nivel Multiplicador Ejemplo A Ejemplo B Ejemplo C 3.º × 400 
2.º × 20 
1.º × 1 
32 429 5125
En el segundo orden cada punto vale 20 unidades y cada raya vale 100 unidades. Por lo tanto, el 9 del segundo orden vale 9×20=180. Esas 180 unidades se suman con las 6 del primer orden y se obtiene el número 186.
El tercer orden tendría que estar formado por grupos de 20 unidades (20×20×1); o sea, cada punto tendría que valer 400 unidades. Sin embargo, el sistema de numeración maya tiene una irregularidad: los símbolos que se escriben en este orden valen 18×20×1 para el sistema calendárico.45 Esto quiere decir que cada punto vale 360 unidades. Esta irregularidad tiene que ver con que los años mayas (tunes) están formados por 360 días, el múltiplo de 20 más cercano a 365. Por lo que el punto en el tercer nivel vale 360 únicamente en el cómputo de fechas y 400 en los demás casos.6
Los mayas vinculaban los números del primer orden con los días (kines, en maya k'ino'ob), los del segundo orden con los meses (uinales, en maya uinalo'ob) y los del tercer orden con los años (tunes, en maya tuno'ob). En el primer número, el valor de la raya del tercer orden es 1800 (5×360), el valor del 9 del segundo orden es 180 (9×20) y el valor del 8 del primer orden es 8 (8×1); por lo tanto, el número es 1988.
El sistema de numeración maya tiene cuatro niveles, que se utilizaban para escribir grandes cantidades.
Los mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años, y con la manera en que organizaban el calendario.
Los mayas tenían tres modalidades para representar gráficamente los números, del 1 al 19, así como del cero: un sistema numérico de puntos y rayas; una numeración cefalomorfa «variantes de cabeza»; y una numeración antropomorfa, mediante figuras completas.3
En el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razón en cada nivel puede ponerse cualquier número del 0 al 19. Al llegar al veinte hay que poner un punto en el siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las unidades, en el segundo nivel se tienen los grupos de 20 (veintenas), en el tercer nivel se tiene los grupos de 20×20 y en el cuarto nivel se tienen los grupos de 20×20×20.
Los tres símbolos básicos son el punto, cuyo valor es 1; la raya, cuyo valor es 5; y el caracol (algunos autores lo describen como concha o semilla), cuyo valor es 0.
El sistema de numeración maya, aún siendo vigesimal, tiene el 5 como base auxiliar. La unidad se representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 19 (con tres rayas y cuatro puntos) que es el máximo valor que se puede representar en cada nivel del sistema vigesimal. Este sistema de numeración es aditivo, porque se suman los valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repite más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparece más de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un número igual o mayor que 20 necesitándose así emplear otro nivel de mayor orden.
Para escribir un número más grande que veinte se usan los mismos símbolos, pero cambian su valor dependiendo de la posición en la que se pongan. Los números mayas se escriben de abajo hacia arriba. En el primer orden (el de abajo) se escriben las unidades (del 0 al 19), en el segundo se representan grupos de 20 elementos. Por esto se dice que el sistema de numeración maya es vigesimal.
| Nivel | Multiplicador | Ejemplo A | Ejemplo B | Ejemplo C |
|---|---|---|---|---|
| 3.º | × 400 |  |  | |
| 2.º | × 20 | | |  |
| 1.º | × 1 | |  |  |
| 32 | 429 | 5125 |
En el segundo orden cada punto vale 20 unidades y cada raya vale 100 unidades. Por lo tanto, el 9 del segundo orden vale 9×20=180. Esas 180 unidades se suman con las 6 del primer orden y se obtiene el número 186.
El tercer orden tendría que estar formado por grupos de 20 unidades (20×20×1); o sea, cada punto tendría que valer 400 unidades. Sin embargo, el sistema de numeración maya tiene una irregularidad: los símbolos que se escriben en este orden valen 18×20×1 para el sistema calendárico.45 Esto quiere decir que cada punto vale 360 unidades. Esta irregularidad tiene que ver con que los años mayas (tunes) están formados por 360 días, el múltiplo de 20 más cercano a 365. Por lo que el punto en el tercer nivel vale 360 únicamente en el cómputo de fechas y 400 en los demás casos.6
Los mayas vinculaban los números del primer orden con los días (kines, en maya k'ino'ob), los del segundo orden con los meses (uinales, en maya uinalo'ob) y los del tercer orden con los años (tunes, en maya tuno'ob). En el primer número, el valor de la raya del tercer orden es 1800 (5×360), el valor del 9 del segundo orden es 180 (9×20) y el valor del 8 del primer orden es 8 (8×1); por lo tanto, el número es 1988.
El sistema de numeración maya tiene cuatro niveles, que se utilizaban para escribir grandes cantidades.
Cero[editar]
La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para su numeración porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema de numeración en el que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que ocupa. El símbolo del cero es representado por un caracol (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano.3
Por ejemplo, para saber qué número es éste hay que obtener el valor de los símbolos. El cero indica que no hay unidades. Los dos puntos del segundo orden representan 2 grupos de 20 unidades; o sea, 40. El número del tercer orden es un 8, pero su valor real se obtiene al multiplicarlo por 360. Por lo tanto, el número es 2880+40+0=2920. Es más fácil leer un número cuando se representa con puntos, rayas y conchas, porque es una representación sencilla que no deja lugar a dudas del valor de cada símbolo, de acuerdo con la posición en la que se escribe. En las representaciones antropomorfas, es más complejo entender el número escrito.
La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para su numeración porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema de numeración en el que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que ocupa. El símbolo del cero es representado por un caracol (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano.3
Por ejemplo, para saber qué número es éste hay que obtener el valor de los símbolos. El cero indica que no hay unidades. Los dos puntos del segundo orden representan 2 grupos de 20 unidades; o sea, 40. El número del tercer orden es un 8, pero su valor real se obtiene al multiplicarlo por 360. Por lo tanto, el número es 2880+40+0=2920. Es más fácil leer un número cuando se representa con puntos, rayas y conchas, porque es una representación sencilla que no deja lugar a dudas del valor de cada símbolo, de acuerdo con la posición en la que se escribe. En las representaciones antropomorfas, es más complejo entender el número escrito.
Numeración astronómica[editar]
El año lo consideraban dividido en 18 unidades; cada una constaba de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de este calendario solar usaron otro de carácter religioso en el que cada año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema, éste se hace poco práctico para el cálculo. Y, aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables, los mayas no desarrollaron una matemática astronómica más allá del calendario. Fue así como ellos empezaron a crear su simbolización a esto se le llama sistema de numeración maya.
El año lo consideraban dividido en 18 unidades; cada una constaba de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de este calendario solar usaron otro de carácter religioso en el que cada año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema, éste se hace poco práctico para el cálculo. Y, aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables, los mayas no desarrollaron una matemática astronómica más allá del calendario. Fue así como ellos empezaron a crear su simbolización a esto se le llama sistema de numeración maya.
Numeración comercial[editar]
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden se hace imprescindible. Los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Como los babilonios, lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica, y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así, la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20×18=360, para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. Su numeración limita en el número 50. Este es una variante del sistema convencional maya.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden se hace imprescindible. Los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Como los babilonios, lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica, y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así, la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20×18=360, para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. Su numeración limita en el número 50. Este es una variante del sistema convencional maya.
Calendario lunar o Tzolkin[editar]
Debido al sistema vigesimal de numeración, el calendario estaba compuesto por múltiplos de 20. El Tzolkin o calendario sagrado, tenía 260 días, mientras que el Haab o calendario solar, 360 más 5 días nefastos que no se incluían en él.
El tzolkin resultaba de la combinación de 20 nombres de los días con el número 13. Esquemáticamente se puede representar por medio de dos ruedas dentadas; en una se encuentran los números 1 a 13 y en la otra los nombres de los días. La primera gira hacia la derecha; la segunda lo hace hacia la izquierda.
Los nombres de los días eran por orden: imix (lagarto), ik' (viento), ak'bal (noche, oscuridad), kan (maíz, lagartija), chicchán (serpiente celestial), kimí (muerte), manik(venado), lamat (conejo, venus), muluc (jade, lluvia), ok (perro, pie), chuwen (artesano, mono), eb (rocío, diente), ben (caña de maíz), ix (jaguar), men (águila), kib(cera, vela, tecolote), kabán (tierra, temblor), ets'nab (pedernal), kawak (tormenta) y ahaw (señor).7
Para que se repita el 1 Imix, fecha inicial del calendario, debían transcurrir 260 días.
Debido al sistema vigesimal de numeración, el calendario estaba compuesto por múltiplos de 20. El Tzolkin o calendario sagrado, tenía 260 días, mientras que el Haab o calendario solar, 360 más 5 días nefastos que no se incluían en él.
El tzolkin resultaba de la combinación de 20 nombres de los días con el número 13. Esquemáticamente se puede representar por medio de dos ruedas dentadas; en una se encuentran los números 1 a 13 y en la otra los nombres de los días. La primera gira hacia la derecha; la segunda lo hace hacia la izquierda.
Los nombres de los días eran por orden: imix (lagarto), ik' (viento), ak'bal (noche, oscuridad), kan (maíz, lagartija), chicchán (serpiente celestial), kimí (muerte), manik(venado), lamat (conejo, venus), muluc (jade, lluvia), ok (perro, pie), chuwen (artesano, mono), eb (rocío, diente), ben (caña de maíz), ix (jaguar), men (águila), kib(cera, vela, tecolote), kabán (tierra, temblor), ets'nab (pedernal), kawak (tormenta) y ahaw (señor).7
Para que se repita el 1 Imix, fecha inicial del calendario, debían transcurrir 260 días.
Códices mayas[editar]
El Códice de Dresde es el códice que se encuentra mejor conservado. Se halla en la ciudad de Dresde (Alemania). No se sabe con exactitud cómo llegó allí, aunque se cree que en uno de los viajes que hicieron los españoles lo usaron como regalo para alguien en Viena (Austria). Después formó parte del acervo de la Biblioteca de Dresde y se dio a conocer en 1810.
El Códice de Dresde es el códice que se encuentra mejor conservado. Se halla en la ciudad de Dresde (Alemania). No se sabe con exactitud cómo llegó allí, aunque se cree que en uno de los viajes que hicieron los españoles lo usaron como regalo para alguien en Viena (Austria). Después formó parte del acervo de la Biblioteca de Dresde y se dio a conocer en 1810.
Numerales en diversas lenguas mayas[editar]
GLOSA Huasteco Yucateco Cholano Qanjobal Mam Quiché proto-
maya Ch'ol de
Tila Tzeltal de
Bachajón Tzotzil de
S. And. Lar. Chuj de
Ixtatán Q'anjobal de
Santa Eulalia 1 huun hun hun- hun hun xún χun χuun χun *χuun 2 čaab ka čaʔ- čeb čib čáʔpʼ kabʼ kabʼ kebʼ *kaʔ(bʼ) 3 ʔooš oš uš- ošeb ʔošib ʔóš ošebʼ ooš ošibʼ *ʔoš(ebʼ) 4 čeeʔ kam čən- čaneb čanib čóŋ kanebʼ qaq kaχibʼ *kaŋ(ebʼ) 5 booʔ ho hoʔ- hoʔeb hoʔob hóp oyebʼ χweʔ χoʔobʼ *χoʔ(ebʼ) 6 ʔakak wak wək- wakeb wakib wákʼ waqebʼ waqibʼ *waq(ebʼ) 7 buuk ušuk wuk- hukeb hukub húk(upʼ) uqebʼ wuqubʼ *huq(ubʼ) 8 wašik wašak wašək- wašakeb wašakib wáxšakʼ waʂaqebʼ wáχšaq waqšaqibʼ *waqšaq(ebʼ) 9 belehu bolom bolon- baluneb baluneb pʼáluŋ bʼalonebʼ beleχuχ bʼeleχebʼ *bʼeluŋ(ebʼ) 10 lahu lahun lahun- lahuneb lahuneb láxuŋ laχonebʼ laaχ laχuχ *laχuŋ(ebʼ)
GLOSA Huasteco Yucateco Cholano Qanjobal Mam Quiché proto-
mayaCh'ol de
TilaTzeltal de
BachajónTzotzil de
S. And. Lar.Chuj de
IxtatánQ'anjobal de
Santa Eulalia1 huun hun hun- hun hun xún χun χuun χun *χuun 2 čaab ka čaʔ- čeb čib čáʔpʼ kabʼ kabʼ kebʼ *kaʔ(bʼ) 3 ʔooš oš uš- ošeb ʔošib ʔóš ošebʼ ooš ošibʼ *ʔoš(ebʼ) 4 čeeʔ kam čən- čaneb čanib čóŋ kanebʼ qaq kaχibʼ *kaŋ(ebʼ) 5 booʔ ho hoʔ- hoʔeb hoʔob hóp oyebʼ χweʔ χoʔobʼ *χoʔ(ebʼ) 6 ʔakak wak wək- wakeb wakib wákʼ waqebʼ waqibʼ *waq(ebʼ) 7 buuk ušuk wuk- hukeb hukub húk(upʼ) uqebʼ wuqubʼ *huq(ubʼ) 8 wašik wašak wašək- wašakeb wašakib wáxšakʼ waʂaqebʼ wáχšaq waqšaqibʼ *waqšaq(ebʼ) 9 belehu bolom bolon- baluneb baluneb pʼáluŋ bʼalonebʼ beleχuχ bʼeleχebʼ *bʼeluŋ(ebʼ) 10 lahu lahun lahun- lahuneb lahuneb láxuŋ laχonebʼ laaχ laχuχ *laχuŋ(ebʼ)
Numeración Romana
La numeración romana es un sistema de numeración que se desarrolló en la Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio romano, manteniéndose con posterioridad a su desaparición y todavía utilizado en algunos ámbitos.
Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para representar ciertos valores. Los números se escriben como combinaciones de letras. Por ejemplo, el año 2018 se escribe como MMXVIII, donde cada M representa 1000, la X representa 10 más, V representa cinco unidades más y cada I simboliza una unidad adicional.
Está basado en la numeración etrusca, la cual, a diferencia de la numeración decimal que está basada en un sistema posicional, se basa en un sistema aditivo (cada signo representa un valor que se va sumando al anterior). La numeración romana posteriormente evolucionó a un sistema sustractivo, en el cual algunos signos en lugar de sumar, restan. Por ejemplo el 4 en la numeración etrusca se representaba como IIII (1+1+1+1), mientras que en la numeración romana moderna se representa como IV (1 restado a 5).
La numeración romana es un sistema de numeración que se desarrolló en la Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio romano, manteniéndose con posterioridad a su desaparición y todavía utilizado en algunos ámbitos.
Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para representar ciertos valores. Los números se escriben como combinaciones de letras. Por ejemplo, el año 2018 se escribe como MMXVIII, donde cada M representa 1000, la X representa 10 más, V representa cinco unidades más y cada I simboliza una unidad adicional.
Está basado en la numeración etrusca, la cual, a diferencia de la numeración decimal que está basada en un sistema posicional, se basa en un sistema aditivo (cada signo representa un valor que se va sumando al anterior). La numeración romana posteriormente evolucionó a un sistema sustractivo, en el cual algunos signos en lugar de sumar, restan. Por ejemplo el 4 en la numeración etrusca se representaba como IIII (1+1+1+1), mientras que en la numeración romana moderna se representa como IV (1 restado a 5).
Índice
Símbolos[editar]
La siguiente tabla muestra los símbolos válidos en el sistema de los números romanos, y sus equivalencias en el sistema decimal:
Signo Valor Nombre Origen I 1 VNVS (ūnus) De la numeración etrusca: I V 5 QVINQVE (quinque) De la numeración etrusca: Λ, que en la romana se invirtió X 10 DECEM (decem) De la numeración etrusca: X L 50 QVINQVAGINTA (quinquaginta) Evolución en el etrusco: Ψ → ᗐ → ⊥ → L C 100 CENTVM (centum) Primera letra de CENTVM D 500 QVINGENTI (Quingenti) D es la mitad de Φ (evolución en el etrusco del símbolo mil: ⊕ → Φ) M 1000 MILLE (Mille) Primera letra de MILLE
El uso de mayúsculas en la numeración romana se debe a que el alfabeto latino solo contaba, en un principio, con letras mayúsculas.
La siguiente tabla muestra los símbolos válidos en el sistema de los números romanos, y sus equivalencias en el sistema decimal:
Signo Valor Nombre Origen I 1 VNVS (ūnus) De la numeración etrusca: I V 5 QVINQVE (quinque) De la numeración etrusca: Λ, que en la romana se invirtió X 10 DECEM (decem) De la numeración etrusca: X L 50 QVINQVAGINTA (quinquaginta) Evolución en el etrusco: Ψ → ᗐ → ⊥ → L C 100 CENTVM (centum) Primera letra de CENTVM D 500 QVINGENTI (Quingenti) D es la mitad de Φ (evolución en el etrusco del símbolo mil: ⊕ → Φ) M 1000 MILLE (Mille) Primera letra de MILLE
El uso de mayúsculas en la numeración romana se debe a que el alfabeto latino solo contaba, en un principio, con letras mayúsculas.
Orígenes[editar]
Los numerales romanos se escriben con letras del alfabeto romano, pero originalmente provenían de los etruscos, los cuales usaban I, Λ, X, Ψ, 8 y ⊕ para representar I, V, X, L, C, y M. Los romanos tomaron letras parecidas a los símbolos etruscos para representar los valores. Así para I y X cogieron las letras I y X; para Λ lo invirtieron y cogieron la V; el símbolo Ψ no era uniforme en el etrusco y evolucionó en diversas variantes: Ψ → ᗐ → ⊥; de la última, los romanos cogieron la mitad del símbolo que se convirtió en L al ser la letra más parecida. Para 8 y ⊕ cogieron las iniciales de los nombres en latín correspondientes a esos valores: C y M, al no haber letras similares a esos símbolos. El 500 inicialmente no tenía símbolo, pero el símbolo ⊕ del 1000 también se representaba a veces con Φ y de la mitad de ese símbolo cogieron la D para representar la mitad de 1000.
No obstante, parece que los numerales etruscorromanos vienen realmente de muescas, marcas o rayas que se tallaban en varas, palos y huesos para llevar conteos (como el hueso de Ishango), usados por pastores tanto dálmatas como italianos hasta el siglo xix.1 Así, el numeral 'I' desciende de una muesca tallada en la vara. En la numeración etrusca, cada quinta muesca era una doble muesca (v.g. ⋀, ⋁, ⋋, ⋌, etc.), y cada décima muesca era un tache (X), IIIIΛIIIIXIIIIΛIIIIXII..., muy al estilo de las marcas de conteo europeas hasta hoy. Esto dio origen a un sistema aditivo: ocho sobre una vara de cuentas eran ocho marcas —IIIIΛIII— que se podía abreviar en ΛIII (o VIII), ya que la existencia de Λ implica cuatro muescas anteriores. Por extensión, el dieciocho era la octava muesca después de las primeras diez, lo que se podía abreviar con X, y así era XΛIII.
Este sistema tiene la particularidad de que los símbolos de mayor valor se escriben con anterioridad a los de menor valor, al encontrarse estos con anterioridad en la sucesión de marcas. Por este motivo, este sistema pudo evolucionar a un sistema sustractivo en el que un signo de un valor menor delante de uno mayor restaba en lugar de sumar, lo que permitía acortar la escritura de números grandes. Así el número 1999 pasó de M·DCCCC·LXXXX·VIIII a M·CM·XC·IX. Esto además facilitaba la lectura, ya que la lectura de más de 3 letras iguales seguidas daba lugar a errores. Así resulta más fácil leer IX que VIIII, evitando además la confusión de este último con VIII.
Sin embargo hasta la edad media se combinaba el método aditivo (hasta 4 letras iguales seguidas) con el método sustractivo (símbolos que también restan). Por ejemplo, era bastante habitual representar el 4 con IIII en vez de IV, debido a que estas dos letras son las primeras de la palabra IVPITER (Júpiter), el máximo dios de los romanos, por lo que se consideraba una blasfemía utilizar las iniciales de su nombre.
En la actualidad, no debe repetirse más de tres veces consecutivas un mismo signo. Se exceptúa la representación del 4 en las esferas de los relojes con números romanos, que puede hacerse como IV o como IIII.2
Los numerales romanos se escriben con letras del alfabeto romano, pero originalmente provenían de los etruscos, los cuales usaban I, Λ, X, Ψ, 8 y ⊕ para representar I, V, X, L, C, y M. Los romanos tomaron letras parecidas a los símbolos etruscos para representar los valores. Así para I y X cogieron las letras I y X; para Λ lo invirtieron y cogieron la V; el símbolo Ψ no era uniforme en el etrusco y evolucionó en diversas variantes: Ψ → ᗐ → ⊥; de la última, los romanos cogieron la mitad del símbolo que se convirtió en L al ser la letra más parecida. Para 8 y ⊕ cogieron las iniciales de los nombres en latín correspondientes a esos valores: C y M, al no haber letras similares a esos símbolos. El 500 inicialmente no tenía símbolo, pero el símbolo ⊕ del 1000 también se representaba a veces con Φ y de la mitad de ese símbolo cogieron la D para representar la mitad de 1000.
No obstante, parece que los numerales etruscorromanos vienen realmente de muescas, marcas o rayas que se tallaban en varas, palos y huesos para llevar conteos (como el hueso de Ishango), usados por pastores tanto dálmatas como italianos hasta el siglo xix.1 Así, el numeral 'I' desciende de una muesca tallada en la vara. En la numeración etrusca, cada quinta muesca era una doble muesca (v.g. ⋀, ⋁, ⋋, ⋌, etc.), y cada décima muesca era un tache (X), IIIIΛIIIIXIIIIΛIIIIXII..., muy al estilo de las marcas de conteo europeas hasta hoy. Esto dio origen a un sistema aditivo: ocho sobre una vara de cuentas eran ocho marcas —IIIIΛIII— que se podía abreviar en ΛIII (o VIII), ya que la existencia de Λ implica cuatro muescas anteriores. Por extensión, el dieciocho era la octava muesca después de las primeras diez, lo que se podía abreviar con X, y así era XΛIII.
Este sistema tiene la particularidad de que los símbolos de mayor valor se escriben con anterioridad a los de menor valor, al encontrarse estos con anterioridad en la sucesión de marcas. Por este motivo, este sistema pudo evolucionar a un sistema sustractivo en el que un signo de un valor menor delante de uno mayor restaba en lugar de sumar, lo que permitía acortar la escritura de números grandes. Así el número 1999 pasó de M·DCCCC·LXXXX·VIIII a M·CM·XC·IX. Esto además facilitaba la lectura, ya que la lectura de más de 3 letras iguales seguidas daba lugar a errores. Así resulta más fácil leer IX que VIIII, evitando además la confusión de este último con VIII.
Sin embargo hasta la edad media se combinaba el método aditivo (hasta 4 letras iguales seguidas) con el método sustractivo (símbolos que también restan). Por ejemplo, era bastante habitual representar el 4 con IIII en vez de IV, debido a que estas dos letras son las primeras de la palabra IVPITER (Júpiter), el máximo dios de los romanos, por lo que se consideraba una blasfemía utilizar las iniciales de su nombre.
En la actualidad, no debe repetirse más de tres veces consecutivas un mismo signo. Se exceptúa la representación del 4 en las esferas de los relojes con números romanos, que puede hacerse como IV o como IIII.2
Notación moderna[editar]
Aunque en textos antiguos se usaban a veces letras minúsculas para representar los números romanos, en la actualidad los números romanos se escriben solo con forma mayúscula. La única excepción son los números romanos usados para numerar apartados o elementos de una lista, que se escriben frecuentemente con minúsculas y reciben el nombre de romanitos.
Hay que tener en cuenta que la numeración romana, al no ser un sistema posicional, no requiere del cero. El valor cero (ninguno, nada), al no ser realmente un valor, no se representa en un sistema aditivo como el de la numeración romana. Por este motivo, los romanos desconocían el cero, que fue introducido en Europa posteriormente con la numeración arábiga.
Para la notación moderna de los números romanos se utilizan las siguientes normas:
- Los números se leen de izquierda a derecha empezando por los símbolos con mayor valor, o conjunto de símbolos de mayor valor.
- Un símbolo seguido de otro de igual o inferior valor, suma (p.e. X·X·I = 10+10+1 = 21), mientras que si está seguido de otro de mayor valor, ambos símbolos forman un conjunto en el cual debe restarse el valor del primero al valor del siguiente (p.e. X·IX = 10+[10-1] = 19).
- La unidad (I) y los números con base 10 (X, C y M) pueden repetirse hasta 3 veces consecutivas como sumandos.
- Los números con base 5 (V, L y D), no pueden repetirse seguidos, ya que la suma de esos dos símbolos tiene representación con alguno de los símbolos anteriores.
- La unidad y los símbolos de base 10 también pueden estar restando antes de un símbolo de mayor valor, pero con las siguientes normas:
- solo pueden aparecer restando sobre los símbolos con base 5 y 10 de valor inmediatamente superiores, pero no de otros con valores más altos (p.e. ‘IV’ y ‘IX’, pero no ‘IL’ ni ‘IC’).
- en el caso de estar restando, no pueden repetirse.
- Los símbolos con base 5 no pueden utilizarse para restar (p.e. 45 se escribe ‘XLV’ y no ‘VL’).
Ejemplos de combinaciones:
-
Romano Nominación II dos III tres IV cuatro VI seis VII siete VIII ocho IX nueve XXXII treinta y dos XLV cuarenta y cinco
Para números con valores igual o superiores a 4000, se coloca una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1000:
-
Romano
(miles) Decimal Nominación V 5000 cinco mil X 10 000 diez mil L 50 000 cincuenta mil C 100 000 cien mil D 500 000 quinientos mil M 1 000 000 un millón
No existe formato para números con un valor de mayor envergadura, por lo que a veces se utiliza una doble barra o una barra de subrayado para indicar que la multiplicación se realiza por un millón. Como ejemplo, para mostrar un valor de diez millones se haría lo siguiente: X
Como sistema de numeración , el inventario de signos es y el conjunto de reglas podría especificarse como:
- Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
- El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción.
- Si un símbolo está a la izquierda inmediata de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero (p.e. IV=4, IX=9).
- Los símbolos de tipo 5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.
- Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1.
- No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5; su duplicado es una letra de tipo 10.
- Si un símbolo de tipo 1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un sólo símbolo de mayor valor.
- Si un símbolo de tipo 1 que aparece restando se repite, sólo se permite que su repetición esté colocada a su derecha y que no sea adyacente al símbolo que resta.
- Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo 1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. Ejemplos:
- el símbolo I sólo puede restar a V y a X.
- el símbolo X sólo resta a L y a C.
- el símbolo C sólo resta a D y a M.
- Se permite que dos símbolos distintos aparezcan restando si no son adyacentes.
A continuación aparecen algunos ejemplos de números no-válidos en el sistema de numeración romano, y la regla que incumplen.
Errónea Correcta Valor Motivo VL XLV 45 Letra de tipo 5 restando VD CDXCV 495 Letra de tipo 5 restando LD CDL 450 Letra de tipo 5 restando IIII IV 4 Más de tres repeticiones de letra tipo 1 VIV IX 9 Repetición de letra de tipo 5 XXXX XL 40 Más de tres repeticiones de letra tipo 1 LXL XC 90 Repetición de letra de tipo 5 CCCC CD 400 Más de tres repeticiones de letra tipo 1 DCD CM 900 Repetición de letra de tipo 5 IXX XIX 19 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor XCC CXC 190 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor CMM MCM 1900 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor IXVI XV 15 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor XCLX CL 150 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor CMDC MD 1500 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor IVI V 5 Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta XLX L 50 Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta CDC D 500 Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta IXI X 10 Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta XCX C 100 Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta CMC M 1000 Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta IIV III 3 Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda XXL XXX 30 Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda CCD CCC 300 Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda IIX VIII 8 Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda XXC LXXX 80 Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda CCM DCCC 800 Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda IL XLIX 49 Letra I restando a L IC XCIX 99 Letra I restando a C ID CDXCIX 499 Letra I restando a D IM CMXCIX 999 Letra I restando a M XD CDXC 490 Letra X restando a D XM CMXC 990 Letra X restando a M XIL XLI 41 Letras I y X adyacentes y restando IXL XXXIX 39 Letras I y X adyacentes y restando CXD CDX 410 Letras X y C adyacentes y restando XCD CCCXC 390 Letras X y C adyacentes y restando
Aunque en textos antiguos se usaban a veces letras minúsculas para representar los números romanos, en la actualidad los números romanos se escriben solo con forma mayúscula. La única excepción son los números romanos usados para numerar apartados o elementos de una lista, que se escriben frecuentemente con minúsculas y reciben el nombre de romanitos.
Hay que tener en cuenta que la numeración romana, al no ser un sistema posicional, no requiere del cero. El valor cero (ninguno, nada), al no ser realmente un valor, no se representa en un sistema aditivo como el de la numeración romana. Por este motivo, los romanos desconocían el cero, que fue introducido en Europa posteriormente con la numeración arábiga.
Para la notación moderna de los números romanos se utilizan las siguientes normas:
- Los números se leen de izquierda a derecha empezando por los símbolos con mayor valor, o conjunto de símbolos de mayor valor.
- Un símbolo seguido de otro de igual o inferior valor, suma (p.e. X·X·I = 10+10+1 = 21), mientras que si está seguido de otro de mayor valor, ambos símbolos forman un conjunto en el cual debe restarse el valor del primero al valor del siguiente (p.e. X·IX = 10+[10-1] = 19).
- La unidad (I) y los números con base 10 (X, C y M) pueden repetirse hasta 3 veces consecutivas como sumandos.
- Los números con base 5 (V, L y D), no pueden repetirse seguidos, ya que la suma de esos dos símbolos tiene representación con alguno de los símbolos anteriores.
- La unidad y los símbolos de base 10 también pueden estar restando antes de un símbolo de mayor valor, pero con las siguientes normas:
- solo pueden aparecer restando sobre los símbolos con base 5 y 10 de valor inmediatamente superiores, pero no de otros con valores más altos (p.e. ‘IV’ y ‘IX’, pero no ‘IL’ ni ‘IC’).
- en el caso de estar restando, no pueden repetirse.
- Los símbolos con base 5 no pueden utilizarse para restar (p.e. 45 se escribe ‘XLV’ y no ‘VL’).
Ejemplos de combinaciones:
-
Romano Nominación II dos III tres IV cuatro VI seis VII siete VIII ocho IX nueve XXXII treinta y dos XLV cuarenta y cinco
Para números con valores igual o superiores a 4000, se coloca una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1000:
-
Romano
(miles)Decimal Nominación V 5000 cinco mil X 10 000 diez mil L 50 000 cincuenta mil C 100 000 cien mil D 500 000 quinientos mil M 1 000 000 un millón
No existe formato para números con un valor de mayor envergadura, por lo que a veces se utiliza una doble barra o una barra de subrayado para indicar que la multiplicación se realiza por un millón. Como ejemplo, para mostrar un valor de diez millones se haría lo siguiente: X
Como sistema de numeración , el inventario de signos es y el conjunto de reglas podría especificarse como:
- Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
- El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción.
- Si un símbolo está a la izquierda inmediata de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero (p.e. IV=4, IX=9).
- Los símbolos de tipo 5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.
- Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1.
- No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5; su duplicado es una letra de tipo 10.
- Si un símbolo de tipo 1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un sólo símbolo de mayor valor.
- Si un símbolo de tipo 1 que aparece restando se repite, sólo se permite que su repetición esté colocada a su derecha y que no sea adyacente al símbolo que resta.
- Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo 1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. Ejemplos:
- el símbolo I sólo puede restar a V y a X.
- el símbolo X sólo resta a L y a C.
- el símbolo C sólo resta a D y a M.
- Se permite que dos símbolos distintos aparezcan restando si no son adyacentes.
A continuación aparecen algunos ejemplos de números no-válidos en el sistema de numeración romano, y la regla que incumplen.
| Errónea | Correcta | Valor | Motivo |
|---|---|---|---|
| VL | XLV | 45 | Letra de tipo 5 restando |
| VD | CDXCV | 495 | Letra de tipo 5 restando |
| LD | CDL | 450 | Letra de tipo 5 restando |
| IIII | IV | 4 | Más de tres repeticiones de letra tipo 1 |
| VIV | IX | 9 | Repetición de letra de tipo 5 |
| XXXX | XL | 40 | Más de tres repeticiones de letra tipo 1 |
| LXL | XC | 90 | Repetición de letra de tipo 5 |
| CCCC | CD | 400 | Más de tres repeticiones de letra tipo 1 |
| DCD | CM | 900 | Repetición de letra de tipo 5 |
| IXX | XIX | 19 | Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor |
| XCC | CXC | 190 | Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor |
| CMM | MCM | 1900 | Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor |
| IXVI | XV | 15 | Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor |
| XCLX | CL | 150 | Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor |
| CMDC | MD | 1500 | Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor |
| IVI | V | 5 | Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta |
| XLX | L | 50 | Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta |
| CDC | D | 500 | Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta |
| IXI | X | 10 | Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta |
| XCX | C | 100 | Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta |
| CMC | M | 1000 | Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta |
| IIV | III | 3 | Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda |
| XXL | XXX | 30 | Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda |
| CCD | CCC | 300 | Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda |
| IIX | VIII | 8 | Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda |
| XXC | LXXX | 80 | Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda |
| CCM | DCCC | 800 | Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda |
| IL | XLIX | 49 | Letra I restando a L |
| IC | XCIX | 99 | Letra I restando a C |
| ID | CDXCIX | 499 | Letra I restando a D |
| IM | CMXCIX | 999 | Letra I restando a M |
| XD | CDXC | 490 | Letra X restando a D |
| XM | CMXC | 990 | Letra X restando a M |
| XIL | XLI | 41 | Letras I y X adyacentes y restando |
| IXL | XXXIX | 39 | Letras I y X adyacentes y restando |
| CXD | CDX | 410 | Letras X y C adyacentes y restando |
| XCD | CCCXC | 390 | Letras X y C adyacentes y restando |
Fracciones[editar]
Aunque los romanos empleaban un sistema decimal de numeración para los números enteros que reflejaba la forma de contar en latín, para las fracciones empleaban un sistema duodecimal. Un sistema basado en doceavos (12 = 3 × 2 × 2) permite manejar fracciones comunes como 1/3 y 1/4 con mayor facilidad que un sistema basado en décimos (10 = 2 × 5). Muchas monedas romanas, cuyo valor era una fracción duodecimal de la unidad, mostraban una notación basada en mitades y doceavos. Un punto • indicaba una uncia "doceavo", el origen etimológico de la palabra onza; y los puntos se concatenaban para representar fracciones de hasta cinco doceavos. Seis doceavos (un medio) se abreviaban con la letra S por semis "mitad". Para fracciones entre siete y once doceavos se añadían puntos uncia de la misma forma que se añaden trazos verticales a la V para indicar números enteros entre seis y nueve.
Cada una de estas fracciones tenía un nombre que era el mismo que el de la moneda correspondiente por ejemplo:
Fracción Numeral Romano Nombre (nominativo y genitivo) Significado 1/12 • uncia, unciae "onza" 2/12 = 1/6 •• o : sextans, sextantis "sexto" 3/12 = 1/4 ••• o ∴ quadrans, quadrantis "cuarto" 4/12 = 1/3 •••• o :: triens, trientis "tercio" 5/12 ••••• o :•: quincunx, quincuncis "cinco onzas" (quinque unciae → quincunx) 6/12 = 1/2 S semis, semissis "mitad" 7/12 S• septunx, septuncis "siete onzas" (septem unciae → septunx) 8/12 = 2/3 S•• o S: bes, bessis "doble" (se entiende "el doble de un tercio") 9/12 = 3/4 S••• o S:• dodrans, dodrantis
o nonuncium, nonuncii "menos un cuarto" (de-quadrans → dodrans)
o "novena onza" (nona uncia → nonuncium) 10/12 = 5/6 S•••• o S:: dextans, dextantis
o decunx, decuncis "menos un sexto" (de-sextans → dextans)
o "diez onzas" (decem unciae → decunx) 11/12 S••••• o S:•: deunx, deuncis "menos una onza" (de-uncia → deunx) 12/12 = 1 I as, assis "unidad"
La disposición de los puntos era variable y no necesariamente lineal. La figura formada por cinco puntos dispuestos como en la cara de un dado (:·:) se denomina quincunce por el nombre de la fracción y moneda romana. Las palabras latinas sextans y quadrans son el origen de las palabras sextante y cuadrante.
Estas son otras fracciones romanas
- 1/8 sescuncia, sescunciae (por sesqui- + uncia, es decir, 1½ uncias), representada por la secuencia del símbolo de la semuncia y el de la uncia.
- 1/24 semuncia, semunciae (por semi- + uncia, es decir, ½ uncia), representada por una variedad de glifos derivados de la letra griega sigma Σ. Hay una variante que se parece al símbolo de la libra £ pero sin la barra horizontal, y otra que se parece a la letra cirílica Є.
- 1/36 binae sextulae, binarum sextularum ("dos sextulas") o duella, duellae, representada por ƧƧ, es decir, dos letras S invertidas.
- 1/48 sicilicus, sicilici, representado por Ɔ, una C invertida.
- 1/72 sextula, sextulae (1/6 de uncia), representada por Ƨ, una S invertida.
- 1/144 dimidia sextula, dimidiae sextulae ("media sextula"), representada por ƻ, una S invertida y tachada por una línea horizontal.
- 1/288 scripulum, scripuli (un escrúpulo), representado por el símbolo ℈.
- 1/1728 siliqua, siliquae, representada por un símbolo similar a unas comillas latinas de cierre, ».
Aunque los romanos empleaban un sistema decimal de numeración para los números enteros que reflejaba la forma de contar en latín, para las fracciones empleaban un sistema duodecimal. Un sistema basado en doceavos (12 = 3 × 2 × 2) permite manejar fracciones comunes como 1/3 y 1/4 con mayor facilidad que un sistema basado en décimos (10 = 2 × 5). Muchas monedas romanas, cuyo valor era una fracción duodecimal de la unidad, mostraban una notación basada en mitades y doceavos. Un punto • indicaba una uncia "doceavo", el origen etimológico de la palabra onza; y los puntos se concatenaban para representar fracciones de hasta cinco doceavos. Seis doceavos (un medio) se abreviaban con la letra S por semis "mitad". Para fracciones entre siete y once doceavos se añadían puntos uncia de la misma forma que se añaden trazos verticales a la V para indicar números enteros entre seis y nueve.
Cada una de estas fracciones tenía un nombre que era el mismo que el de la moneda correspondiente por ejemplo:
| Fracción | Numeral Romano | Nombre (nominativo y genitivo) | Significado |
|---|---|---|---|
| 1/12 | • | uncia, unciae | "onza" |
| 2/12 = 1/6 | •• o : | sextans, sextantis | "sexto" |
| 3/12 = 1/4 | ••• o ∴ | quadrans, quadrantis | "cuarto" |
| 4/12 = 1/3 | •••• o :: | triens, trientis | "tercio" |
| 5/12 | ••••• o :•: | quincunx, quincuncis | "cinco onzas" (quinque unciae → quincunx) |
| 6/12 = 1/2 | S | semis, semissis | "mitad" |
| 7/12 | S• | septunx, septuncis | "siete onzas" (septem unciae → septunx) |
| 8/12 = 2/3 | S•• o S: | bes, bessis | "doble" (se entiende "el doble de un tercio") |
| 9/12 = 3/4 | S••• o S:• | dodrans, dodrantis o nonuncium, nonuncii | "menos un cuarto" (de-quadrans → dodrans) o "novena onza" (nona uncia → nonuncium) |
| 10/12 = 5/6 | S•••• o S:: | dextans, dextantis o decunx, decuncis | "menos un sexto" (de-sextans → dextans) o "diez onzas" (decem unciae → decunx) |
| 11/12 | S••••• o S:•: | deunx, deuncis | "menos una onza" (de-uncia → deunx) |
| 12/12 = 1 | I | as, assis | "unidad" |
La disposición de los puntos era variable y no necesariamente lineal. La figura formada por cinco puntos dispuestos como en la cara de un dado (:·:) se denomina quincunce por el nombre de la fracción y moneda romana. Las palabras latinas sextans y quadrans son el origen de las palabras sextante y cuadrante.
Estas son otras fracciones romanas
- 1/8 sescuncia, sescunciae (por sesqui- + uncia, es decir, 1½ uncias), representada por la secuencia del símbolo de la semuncia y el de la uncia.
- 1/24 semuncia, semunciae (por semi- + uncia, es decir, ½ uncia), representada por una variedad de glifos derivados de la letra griega sigma Σ. Hay una variante que se parece al símbolo de la libra £ pero sin la barra horizontal, y otra que se parece a la letra cirílica Є.
- 1/36 binae sextulae, binarum sextularum ("dos sextulas") o duella, duellae, representada por ƧƧ, es decir, dos letras S invertidas.
- 1/48 sicilicus, sicilici, representado por Ɔ, una C invertida.
- 1/72 sextula, sextulae (1/6 de uncia), representada por Ƨ, una S invertida.
- 1/144 dimidia sextula, dimidiae sextulae ("media sextula"), representada por ƻ, una S invertida y tachada por una línea horizontal.
- 1/288 scripulum, scripuli (un escrúpulo), representado por el símbolo ℈.
- 1/1728 siliqua, siliquae, representada por un símbolo similar a unas comillas latinas de cierre, ».
Ejemplos[editar]
A continuación se muestran varios ejemplos de numerales romanos, y sus equivalencias decimales:
Romana Decimal I 1 II 2 III 3 III•ΣƧ»»»» 3,1412 037... IV 4 V 5 VI 6 VII 7 VIII 8 IX 9 X 10 XI 11 XII 12 XIX 19 XX 20 XXX 30 XL 40 L 50 LX 60 LXX 70 LXXX 80 XC 90 C 100 CDL 450 DCLXVI 666 CMXCIX 999 MCDXLIV 1444 MMMDCCCLXXXVIII 3888 XVDX 15 510
A continuación se muestran varios ejemplos de numerales romanos, y sus equivalencias decimales:
| Romana | Decimal |
|---|---|
| I | 1 |
| II | 2 |
| III | 3 |
| III•ΣƧ»»»» | 3,1412 037... |
| IV | 4 |
| V | 5 |
| VI | 6 |
| VII | 7 |
| VIII | 8 |
| IX | 9 |
| X | 10 |
| XI | 11 |
| XII | 12 |
| XIX | 19 |
| XX | 20 |
| XXX | 30 |
| XL | 40 |
| L | 50 |
| LX | 60 |
| LXX | 70 |
| LXXX | 80 |
| XC | 90 |
| C | 100 |
| CDL | 450 |
| DCLXVI | 666 |
| CMXCIX | 999 |
| MCDXLIV | 1444 |
| MMMDCCCLXXXVIII | 3888 |
| XVDX | 15 510 |
Aritmética con numeración romana[editar]
Todas las operaciones aritméticas realizadas con numeración romana, al tratarse de un caso particular de numeración entera, pueden ser descompuestas en sumas y restas.
Todas las operaciones aritméticas realizadas con numeración romana, al tratarse de un caso particular de numeración entera, pueden ser descompuestas en sumas y restas.
Suma[editar]
CXVI + XXIV = 140
Paso Descripción Ejemplo 1 Eliminar la notación substractiva IV → IIII 2 Concatenar los términos CXVI + XXIIII → CXVIXXIIII 3 Ordenar los numerales de mayor a menor CXVIXXIIII → CXXXVIIIII 4 Simplificar el resultado reduciendo símbolos IIIII → V; VV → X; CXXXVIIIII → CXXXX 5 Añadir notación substractiva XXXX → XL 6 Solución CXL
Solución: CXVI + XXIV = CXL
El primer paso decodifica los datos posicionales en una notación única, lo que facilita la tarea aritmética. Con ello, el segundo paso, al tener una notación únicamente aditiva puede entrar en funcionamiento. Tras eso, es necesaria una reordenación, pues los dos sumandos mantienen sus ordenaciones respectivas, lo que no es problema al no estar presente anotación substractiva. Una vez reordenados los símbolos, se agrupan y se introduce de nuevo la notación substractiva, aplicando las reglas de numeración romana.
CXVI + XXIV = 140
| Paso | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| 1 | Eliminar la notación substractiva | IV → IIII |
| 2 | Concatenar los términos | CXVI + XXIIII → CXVIXXIIII |
| 3 | Ordenar los numerales de mayor a menor | CXVIXXIIII → CXXXVIIIII |
| 4 | Simplificar el resultado reduciendo símbolos | IIIII → V; VV → X; CXXXVIIIII → CXXXX |
| 5 | Añadir notación substractiva | XXXX → XL |
| 6 | Solución | CXL |
Solución: CXVI + XXIV = CXL
El primer paso decodifica los datos posicionales en una notación única, lo que facilita la tarea aritmética. Con ello, el segundo paso, al tener una notación únicamente aditiva puede entrar en funcionamiento. Tras eso, es necesaria una reordenación, pues los dos sumandos mantienen sus ordenaciones respectivas, lo que no es problema al no estar presente anotación substractiva. Una vez reordenados los símbolos, se agrupan y se introduce de nuevo la notación substractiva, aplicando las reglas de numeración romana.
Resta[editar]
CXVI − XXIV = 92
Paso Descripción Ejemplo 1 Eliminar la notación substractiva IV → IIII 2 Eliminar los numerales comunes entre los términos CXVI − XXIIII → CV − XIII 3 Expandir los numerales del primer término hasta que aparezcan elementos del segundo. CV − XIII → LLIIIII − XIII → LXXXXXIIIII − XIII 4 Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el segundo término quede vacío LXXXXXIIIII − XIII → LXXXXII 5 Añadir notación substractiva LXXXXII → XCII 6 Solución XCII
Solución: CXVI − XXIV = XCII
CXVI − XXIV = 92
| Paso | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| 1 | Eliminar la notación substractiva | IV → IIII |
| 2 | Eliminar los numerales comunes entre los términos | CXVI − XXIIII → CV − XIII |
| 3 | Expandir los numerales del primer término hasta que aparezcan elementos del segundo. | CV − XIII → LLIIIII − XIII → LXXXXXIIIII − XIII |
| 4 | Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el segundo término quede vacío | LXXXXXIIIII − XIII → LXXXXII |
| 5 | Añadir notación substractiva | LXXXXII → XCII |
| 6 | Solución | XCII |
Solución: CXVI − XXIV = XCII
El 4 en los relojes[editar]
Es común ver en muchos relojes el uso de IIII para el numeral 4, en lugar del correcto IV. El sistema de numeración romano, derivado del que empleaban los etruscos, inicialmente se basaba en el método aditivo (I más I eran II, V más I eran VI, y IImás II eran IIII). Al pasar el tiempo decidieron empezar a usar el método sustractivo en el cual el número anterior resta su cantidad al siguiente. De esta forma, en lugar de escribir 4 como la suma de 2 más 2 (IIII) pasó a escribirse como la resta de 5 menos 1 (IV).3
A pesar del cambio, en muchos relojes se siguió utilizando el IIII. Algunas de las supuestas razones por las que esto ha sido así son:3
- En 1370, un relojero suizo recibió el encargo de realizar un reloj que se colocaría en la torre del Palacio Real de Francia, y al entregarlo el rey Carlos V le recriminó haber representado el 4 como IV. El relojero señaló que era así como se escribía, pero Carlos V respondió enojado: «El Rey nunca se equivoca». El relojero tuvo que cambiar la representación del 4 a IIII y desde entonces en todos los relojes se empezó a representar así.
- En otra versión de la historia se dice que fue el relojero el que cometió la equivocación de representar el 4 como IIII, y el rey lo mandó ejecutar por la equivocación. Desde entonces como protesta por el hecho y como homenaje, todos los colegas de profesión decidieron utilizar IIII en vez de IV.
- También se dice que el IIII se mantiene por superstición. El IV corresponde a las dos primeras letras del dios romanoJúpiter [IVPITER en latín], y por tanto su uso para denominar a un número podría considerarse inapropiado y blasfemo.
- El conjunto IIII crea una simetría visual en la esfera, ya que el símbolo I es el único que aparece en las cuatro primeras horas, V aparece las siguientes cuatro horas y X en las últimas cuatro, proporcionando una simetría que se vería alterada si se usara el IV.
- También por comodidad, ya que IV es más difícil de leer dada su posición en la esfera del reloj, al quedar casi boca abajo (el número IV podría confundirse con el VI en esa posición).
Es común ver en muchos relojes el uso de IIII para el numeral 4, en lugar del correcto IV. El sistema de numeración romano, derivado del que empleaban los etruscos, inicialmente se basaba en el método aditivo (I más I eran II, V más I eran VI, y IImás II eran IIII). Al pasar el tiempo decidieron empezar a usar el método sustractivo en el cual el número anterior resta su cantidad al siguiente. De esta forma, en lugar de escribir 4 como la suma de 2 más 2 (IIII) pasó a escribirse como la resta de 5 menos 1 (IV).3
A pesar del cambio, en muchos relojes se siguió utilizando el IIII. Algunas de las supuestas razones por las que esto ha sido así son:3
- En 1370, un relojero suizo recibió el encargo de realizar un reloj que se colocaría en la torre del Palacio Real de Francia, y al entregarlo el rey Carlos V le recriminó haber representado el 4 como IV. El relojero señaló que era así como se escribía, pero Carlos V respondió enojado: «El Rey nunca se equivoca». El relojero tuvo que cambiar la representación del 4 a IIII y desde entonces en todos los relojes se empezó a representar así.
- En otra versión de la historia se dice que fue el relojero el que cometió la equivocación de representar el 4 como IIII, y el rey lo mandó ejecutar por la equivocación. Desde entonces como protesta por el hecho y como homenaje, todos los colegas de profesión decidieron utilizar IIII en vez de IV.
- También se dice que el IIII se mantiene por superstición. El IV corresponde a las dos primeras letras del dios romanoJúpiter [IVPITER en latín], y por tanto su uso para denominar a un número podría considerarse inapropiado y blasfemo.
- El conjunto IIII crea una simetría visual en la esfera, ya que el símbolo I es el único que aparece en las cuatro primeras horas, V aparece las siguientes cuatro horas y X en las últimas cuatro, proporcionando una simetría que se vería alterada si se usara el IV.
- También por comodidad, ya que IV es más difícil de leer dada su posición en la esfera del reloj, al quedar casi boca abajo (el número IV podría confundirse con el VI en esa posición).
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